30年来の思い込み
−　どうでもいい議論　−
（vol.58 から）
一部修正してあります。

パソ子

　それはパソ子にとってショッキングな出来事だった。とある依頼観望会でのこと。雨天プログラムということで、Ａ氏がスライドの説明をしていた。

Ａ氏　：「・・・。この直角三角形を夏の大三角形と言います。・・・」
パソ子：（おいおい、それは二等辺三角形だろう・・・。）
　後日の会話。
パソ子：「なあ、この間の観望会で、夏の大三角形を直角三角形って言ってたけど、二等辺三角形じゃないの？」
Ａ氏　：「えっ、ありゃあ直角三角形だろう。どこが二等辺三角形なんだ？。」

　この返答もショッキングだった。パソ子が30年来信じていたことが頭から否定されようとは・・・。その後、他の会員も交えて何度か激論が交わされた。合宿で参加者に確認したら、「二等辺」対「直角」は6：4だった。これは別の意味でショックだった。何故ならば、夏の大三角形が直角三角形であるということを30年来一度も聞いたことがなかったのに、直角三角形だと言う人が4割もいたのだから。このとき、パソ子は初めて「直角三角形」がある程度一般的に言われている表現なのだと知ったのである。

　夏の大三角形は厳密には二等辺三角形でも直角三角形でもない。従って、どちらの表現がより適当であるかが問題になるのだが、二等辺三角形の方に絶対的地震、もとい、自信があったパソ子は、直角三角形派を数学的に論破してやろうと思い立った。以下はその数学的分析である。

　まず、ベガ、アルタイル、デネブの赤経赤緯から各２星間の視角を求めた。求めた視角から天球上の3点（星）を通る平面上の三角形の辺の長さの比を求めた。これらの計算には三角比（または三角関数）の知識と立体図形の把握能力が必要であり、ここでは計算の詳細は割愛させていただく。さらにこの三辺の長さから各々の辺のなす角を求めた。結果は下表の通りである。（計算違いが無いとは言い切れないけれど。）

　結果にパソ子はまたまた驚いた。Ａ氏からベガの頂点での角度は、写真判定で80°はあったと聞いていたのだが、なななんと84°もあるではないか。これほどまでに90°に近いとは思いもよらなかった。実際、二等辺派の言い分の多くは「あれを直角とは表現しにくい」である。ひとつの結論として、直角に厳しい（90°との差が小さくても直角と言わない）人が多いということは言えそうだ。
　さて、この数字だけで二等辺三角形と直角三角形のどちらが適当かを結論するのは性急だ。なぜなら、同じ尺度で比較できる状態になっていないからだ。そこで、二頂点（星）を固定して、残りの一点（星）を動かして厳密な二等辺、または直角三角形に変形するときに、その頂点の移動量がどの程度必要であるかという視点で分析することにした。
　まず、求めた辺の長さの比と角度で正確に図を描いた。今ではＣＡＤというパソ子の得意とする道具があるのでこれで描いてみた。するとまたまたショッキングである。何といびつな三角形（図1）だ。直角三角形はおろか、二等辺三角形などとはとても言えない。もっとも、厳密にはどちらでもないのだから当然ではあるが、それ以前に実際の空で見る三角形とは形（の印象）が全く違い、そのことがショックであった。考えて見れば、紙に書いた小さな絵と、大空に描かれた、それも視角が40°近くもある雄大な絵とが違う印象なのは当たり前である。しかもそれは、片や平面上、片や（仮想ではあるが）球面上の絵であるのだから。ここにもう一つの結論がある。それは、人間の目、というより、見た目の判断力のいい加減さと個人差は、どちらも大きそうだということである。
　いよいよ本題である。3通り（図2〜4）の動かし方をした場合の図を示す。すなわち、デネブとベガを固定してアルタイルのみを移動した場合（図2）、デネブのみを移動した場合（図3）、ベガのみを移動した場合（図4）である。いずれも移動量が最小になるように移動（太線＝実際の三角、細線＝移動後の三角、一点鎖線＝補助線）させた。すると何たることだ、3ケースとも明らかに直角三角形にする方が移動量が小さいではないか。絶句した。パソ子は他の視点で分析することを諦めた。完敗である。数学的に見れば、少なくても今回パソ子が試みた分析の視点では、夏の大三角形は二等辺三角形より直角三角形に近いと認めざるを得ない。ここにパソ子の30年来の思いこみは脆くも崩れ去ったのだ。

　では、なぜ二等辺三角形という表現が存在するのか。少なくともそう言われて「えぇ〜、直角三角形じゃないの」と百人が百人言うほど直角三角形に近いわけではなく、二等辺三角形でも受け入れられる程度の三角形であるということだけは言えると思う。あとはその人間が直角と二等辺に対して、どちらへの許容度が大きいかによるであろう。思うに、直角というものは身近にあまりに多く存在しており、少しでも曲がると直角とは言えない、つまり直角に対して厳しい感覚を持っている人が多いのではなかろうか。また、直角三角形は、直角の1点だけ確かめれば良いが、二等辺三角形は2点を見て（辺なり角なりが）等しいと判断しなくてはならない。その分曖昧さが大きく、さらには角2つが等しければそれが何度であっても良いという自由さが、許容度の大きさにつながっているのではなかろうか。
　数日前、某高校地学部ＯＢの4人に「夏の大三角形って何三角形？」と質問したところ、初めは質問の意図を図りかねていたようだったが、「二等辺三角形とかそういう意味ですか？」と聞き返された。結局4人が4人（某高校数学教師を含む）とも「二等辺三角形」と答えたことを合わせ考えても二等辺三角形派は多いと思われる。これはパソ子の回りだけの特異現象なのだろうか。書籍にはどちらの表現も見受けられるとはＡ氏の弁。二等辺と直角の両派が存在することは納得できる。あとはその人間が最初にどちらと出会うか。二等辺派になるか直角派になるかはこの1点にかかっているというのが究極の結論だが、皆さんはどう思われるだろう。

　結局、夏の大三角形は二等辺三角形でも直角三角形でもいいのさ。だから、多分パソ子は、三つ子の魂百までの類に漏れず、これからも二等辺三角形と言い続けるだろうなぁ。